24 janvier 2009

Belle aventure que cette recherche sur le net.

Le volume des fûts cubiques CYBOX est facile à calculer, puisque c'est un cube.

Le volume d’un cylindre est connu (pourquoi le cylindre m’intéresse-t-il ? On verra plus loin) :

« r » étant la surface de sa base, « h » sa hauteur.

Pour le volume d’un tonneau conique, je pensais mes réminiscences mathématiques suffisantes. J’allais faire la différence entre le volume du cône entier et celui du cône imaginaire situé au-dessus de mon tonneau. Mais comment mesurer avec précision la partie « invisible » du cône ? Il n’est pas évident de passer des mathématiques sur papier à la réalité…

La formule du volume d’un cône tronqué se trouve finalement facilement sur le net, car il est inscrit au programme mathématique des classes de lycée :

« r » étant la surface du couvercle, « R » la surface de la base.

Le volume du tonneau gaulois ne peut être qu’approximatif, car les tonneliers courbent les douelles en les chauffant, ils n’appliquent aucune formule mathématique. Considérons cependant que la courbe des douelles est, grosso modo, une parabole. Eh bien, il y a plus d’une dizaine de formules possibles !

On y utilise soit les rayons des fonds et du bouge (le ventre du tonneau), soit « r » et « R », soit leurs diamètres, soit « d » et « D ».

Les gaulois en ont proposé la première :

Je l’ai trouvée sur le site du Matou Matheux :

http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/algebre/4/formules43.htm

Puis Johannès Kepler, mathématicien allemand bien connu des élèves des classes scientifiques, a proposé le calcul suivant :

Pierre-François COMPAGNON, dans son ouvrage "Questions Proposées sur les Éléments de Géométrie" (Éd. Gauthier-Villars, 1877), parle de la formule de DEZ « couramment utilisée en France » :

J’ai aussi trouvé la « formule de l’An II », sans découvrir pourquoi elle porte ce nom ni qui l’a proposée. Moins connue que celle de Kepler, elle me paraît plus proche de la réalité :

Elle est citée sur différents sites.

Vient ensuite la formule proposée par Michel BERTEAU sur son site :

http://pagesperso-orange.fr/math.15873/index.htm

Ce Monsieur a aussi calculé (et fait la démonstration) du volume de liquide en fonction de sa hauteur dans le tonneau, ce qui m’intéresse tout particulièrement ! Je ne vous donne pas le détail, mais voici à quoi il aboutit :

C’est évidemment plus complexe, chapeau Monsieur BERTEAU !

J’ai découvert plus tard que le site :

http://www.sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrieformes01.php

propose la même formule et la démontre quasiment de la même façon, ce qui renforce, s’il le fallait, sa crédibilité. Ils avaient juste oublié un malencontreux « 2 » en fin de parcours, erreur de simplification de fraction, que je me suis fait un plaisir de leur signaler et qu’ils corrigeront probablement rapidement, car ils m’ont aimablement remercié.

Vient ensuite la formule de Cécile LE PAPE et Aziz MOUKRIM, sur leurs sites respectifs :

http://pagesperso-orange.fr/math.15873/index.htm

et http://www.sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrieformes01.php

Voici deux formules de Jean-Louis GUILLOT, trouvées sur son site :

http://pagesperso-orange.fr/jean-louis.guillot/stages/tableur/tabi.pdf

Voici enfin trois formules, beaucoup plus approximatives selon moi, la première de R. WARME sur :

http://www.warmaths.fr/SCIENCES/unites/AireVolumeCalculsnivCAPBacPeda.htm

Et deux du Matou Matheux, sur son site déjà cité :

J’ai contacté Michel BERTEAU pour lui demander s’il pouvait me calculer la surface de bois en contact avec le liquide, selon la hauteur de ce dernier. Il s’est très gentiment mis à la tâche et voici ce qu’il m’a très rapidement proposé : Un programme permettant de calculer automatiquement le volume et les surfaces, sans me gaver avec des formules probablement alambiquées (c’est le cas de le dire) !

Quand je pense que certains détracteurs du net considèrent qu'Internet « enferme » les gens chez eux ! Quelle formidable démonstration de la solidarité qui peut exister entre internautes !

Michel BERTEAU m’a expliqué comment installer ce petit programme sur mon ordinateur. Il l’a aussi mis à disposition de tous sur son site, à l’adresse :

http://pagesperso-orange.fr/math.15873/Fut.html

Profitez-en pour parcourir tout son site, il sera très utile à beaucoup.

Franchement, Michel, je tiens à vous faire part de toute ma gratitude.

Michel n’est pas le seul internaute que j’aie contacté pour cette question des surfaces. Je m’étais aussi inscrit sur le forum Futura Sciences et posé la question suivante :

Bonsoir à tous,

Qui pourrait m'aider à calculer approximativement la surface de contact bois - liquide contenu dans un tonneau, en posant comme hypothèse que l'on connait les diamètres du bouge (diamètre au centre, D) et des fonds (d), ainsi que la hauteur du fût (H), la hauteur du liquide (h) ?

Partons du principe que les côtés sont de forme parabolique.

Ce n'est pas un jeu, j'en ai besoin pour comparer les apports d'oxygène à travers le bois selon les tailles et dimensions des tonneaux.

Merci de votre aide !

Voici les réponses que les internautes m’ont apportées :

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/282216-aire-dun-tonneau.html#post2144642

Tout d’abord, Le Souffle de Dieu (God’s Breath) m’a proposé :

 

Bon, d’accord, c’est déjà d'un niveau de math plutôt hard. Je vais devoir m’accrocher pour mieux comprendre…

Puis, Mécano41 a déposé un fichier Excel avec deux onglets, l’un qui explique la même démarche (ce qui est bien sûr rassurant), avec un schéma en prime, l’autre qui est une aide aux calculs !

Et voici la feuille de calcul :

On entre les données dans les cases jaunes, et hop ! Figurez-vous que nous avons droit, en même temps, au calcul automatique des surfaces de contact du liquide avec le bois non seulement de la périphérie du tonneau, mais aussi avec le bois du fond, et, cerise sur le gâteau, avec l’air du dessus !

« Attention de ne pas stupidement effacer les formules, bonhomme », me suis-je dit. Je me suis aussitôt empressé de protéger les cellules autres que celles dans lesquelles on entre les données.

Le fichier est disponible à l’adresse indiquée plus haut.

La fin janvier n’est ni mon anniversaire ni ma fête, mais c’est tout comme ! Un grand merci, les gars, vous êtes brillants.

Je suis maintenant bien outillé pour comparer mes fameux rapports Surface de contact / Volume en fonction non seulement de la hauteur de liquide, mais aussi du volume des fûts utilisés et de leur forme.

Je vais alors pouvoir définir des dimensions précises pour mes contenants successifs...

Un grand merci, Messieurs... Et vive le net !